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正整数に対して定義されて正整数を出力する関数fについて次が成り立つ。
任意の正整数n,mについて、nとmの最大公約数とf(n)とf(m)の最大公約数は等しい
このとき任意の正整数nに対してf(n)=nであることを示してください。
2
単位円に内接するn角形について面積が最大になるのは正n角形であることを示せ。
3
nは正整数とおく。
(1)
n*nのマス目がある。n*nのマス目のいくつかのマスに次の条件を満たすように石を置く。
・一つのマスに置ける石はひとつまで
・石が置いてあるマスのとなりのマス（斜めも含める）には石は置かれていない。
・n*nのマス目にはこれ以上石を置くことができない。
このときn*nのマスに置かれている石の数の最小値をf(n),最大値をg(n)とおく。f(n),g(n)を求めて下さい。
(2)
(1)で斜めを含めるを斜めを含めないと置き換えた問題を考える。
f(n)/(n^2)のn→∞での極限値とg(n)を求めて下さい。
4
n個の数が並んだ配列（a_1,…,a_n）の順番を入れ替える関数（置換と呼ばれている）について考える。
例えば(1,2,3,4)→(2,3,4,1)の置換を施すと
(1,2,3,4)→(2,3,4,1)→(3,4,1,2)→(4,1,2,3)→(1,2,3,4)
となる。上の例では計4回の置換を施している。
pを素数とおき、nを2p以下1以上の自然数とおく。
n個の数が並んだ配列に対する置換でそれをp回施すと恒等置換（入力と出力が同じ）になるものの個数を求めて下さい。
5
x,yを自然数、pを素数とおく。
x^2 p^3=y^4
を満たすx,y,pは存在しないことか、あるいは存在すると仮定したらpは
p=24(c^2)-1（cは自然数）
の形で表されること、のどちらかを示して下さい。
6
半径1で中心角が直角な扇型がある。扇形の中心をOとしO以外のかどをP,Qとする。
Oからの距離がd(<=1)で線分OP上にある点をAとおく。
点R(≠A)が、線分ARは孤PQと交点をもつ、ように与えられたとおく。この交点をBとおく。（B=Pでもよい）
∠OAR=180°-θとおく。
直線ARを軸として扇形を回転させることによって得る立体の体積をV(d,θ)とおく。
(1)
V(d,θ)を求めて下さい。
(2)
0<=d<=1,0<=θ<=45°におけるVの最小値を求めて下さい。
以上
memomemomail
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